# 2.2 散布度（分散・標準偏差） 代表値だけではデータの全体像を把握できません。データの「ばらつき」を表す指標が必要です。 ## なぜ散布度が重要なのか? 次の2つのクラスのテスト成績を考えてみましょう: **クラスA:** \[75, 78, 80, 82, 85] → 平均80点 **クラスB:** \[40, 60, 80, 100, 120] → 平均80点 平均は同じ80点ですが、クラスBの方が成績のばらつきが大きいことがわかります。 ## 主な散布度の指標 ### 1. 範囲（Range） 最大値と最小値の差です。 **計算式:** $$ 範囲 = 最大値 - 最小値 $$ **例:** \[40, 60, 80, 100, 120] 範囲 = 120 - 40 = **80** **特徴:** * 計算が簡単 * 外れ値の影響を大きく受ける ### 2. 分散（Variance） 各データが平均からどれだけ離れているかの平均的な大きさを表します。 **計算式（標本分散）:** $$ s^2 = \frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}(x\_i - \bar{x})^2 $$ **計算手順:** 1. 各データと平均の差を求める 2. その差を二乗する 3. 二乗した値の平均を取る **例:** データ \[2, 4, 6, 8, 10]、平均 = 6 | データ | 差 | 差の二乗 | | --- | -- | ---- | | 2 | -4 | 16 | | 4 | -2 | 4 | | 6 | 0 | 0 | | 8 | 2 | 4 | | 10 | 4 | 16 | 分散 = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = **8** ### 3. 標準偏差（Standard Deviation） 分散の平方根です。元のデータと同じ単位で表せます。 **計算式:** $$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}(x\_i - \bar{x})^2} $$ 上記の例では: 標準偏差 = √8 ≈ **2.83** **特徴:** * 元のデータと同じ単位（cm、円など） * 解釈しやすい * 最もよく使われる散布度の指標 ## 標本分散と不偏分散 ### 標本分散（n で割る） $$ s^2 = \frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}(x\_i - \bar{x})^2 $$ ### 不偏分散（n-1 で割る） $$ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum\_{i=1}^{n}(x\_i - \bar{x})^2 $$ **使い分け:** * 標本そのものを分析: 標本分散（n で割る） * 母集団を推定: 不偏分散（n-1 で割る） 一般的には不偏分散がよく使われます。 ## 標準偏差の解釈 正規分布の場合、標準偏差は以下のような意味を持ちます: * 平均 ± 1標準偏差の範囲: 約68%のデータが含まれる * 平均 ± 2標準偏差の範囲: 約95%のデータが含まれる * 平均 ± 3標準偏差の範囲: 約99.7%のデータが含まれる ## 実践例: テスト成績の比較 **クラスA:** * 成績: \[75, 78, 80, 82, 85] * 平均: 80点 * 標準偏差: 3.16点 **クラスB:** * 成績: \[40, 60, 80, 100, 120] * 平均: 80点 * 標準偏差: 28.28点 → クラスBの方が成績のばらつきが約9倍大きい ## 変動係数（CV）: 異なる単位のデータを比較 標準偏差を平均で割った値（パーセント表示）: $$ CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100% $$ **例:** * 身長: 平均170cm、標準偏差8.5cm → CV = 5% * 体重: 平均65kg、標準偏差13kg → CV = 20% → 体重の方がばらつきが大きい ## 練習問題 **問1**: 次のデータの分散と標準偏差を求めてください: ``` [10, 12, 15, 18, 20] ``` **問2**: 平均が同じ2つのデータセットでも、標準偏差が異なる例を作ってください。 **問3**: なぜ分散では「差の二乗」を使うのでしょうか? 単純に差の合計ではだめでしょうか? *** 次のセクション: [2.3 データの可視化](https://ringa-hyjs-organization.gitbook.io/ringa_read_site/ji-chu-bian/chapter2/section3)