# 5.2 t検定 最もよく使われる統計的検定の1つ、t検定を学びます。 ## t検定とは 母集団が正規分布に従い、母分散が未知の場合に使う平均値の検定 **3つのタイプ:** 1. 一標本t検定: 標本平均と基準値を比較 2. 対応のあるt検定: 同じ対象の前後を比較 3. 対応のないt検定: 2つの独立したグループを比較 ## 1. 一標本t検定 ### 目的 標本の平均が、ある特定の値と異なるかを検定 ### 仮説 * H₀: μ = μ₀ * H₁: μ ≠ μ₀ ### 検定統計量 $$ t = \frac{\bar{x} - \mu\_0}{s / \sqrt{n}} $$ 自由度: n - 1 ### 実践例 **問題:** ある製品の規格値は100g。サンプル10個の重量: ``` 98, 102, 99, 101, 97, 103, 100, 98, 102, 100 ``` 規格通りか検定せよ（α = 0.05） **解答:** Step 1: 統計量を計算 * 標本平均: $\bar{x}$ = 100g * 標本標準偏差: s = 2.0g * n = 10 Step 2: 仮説 * H₀: μ = 100 * H₁: μ ≠ 100 Step 3: t値を計算 $$ t = \frac{100 - 100}{2.0 / \sqrt{10}} = 0 $$ Step 4: 判定 * 自由度9のt分布で、臨界値（両側5%）= ±2.262 * |t| = 0 < 2.262 * p値 = 1.0 > 0.05 **結論:** 帰無仮説を棄却できない。規格通りと判断。 ## 2. 対応のあるt検定（ペアt検定） ### 目的 同じ対象の2回の測定値を比較 ### 使用場面 * 治療前後の比較 * 同じ人の左右の測定 * 同じ商品の変更前後 ### 仮説 * H₀: μ\_d = 0（差の平均が0） * H₁: μ\_d ≠ 0 ### 検定統計量 $$ t = \frac{\bar{d}}{s\_d / \sqrt{n}} $$ ここで、$\bar{d}$ は差の平均、$s\_d$ は差の標準偏差 ### 実践例 **問題:** 10人の学生が補習を受けた。成績は上がったか? | 学生 | 前 | 後 | 差 | | -- | -- | -- | - | | 1 | 60 | 65 | 5 | | 2 | 55 | 60 | 5 | | 3 | 70 | 75 | 5 | | 4 | 65 | 70 | 5 | | 5 | 50 | 52 | 2 | | 6 | 75 | 80 | 5 | | 7 | 68 | 70 | 2 | | 8 | 72 | 78 | 6 | | 9 | 58 | 63 | 5 | | 10 | 63 | 68 | 5 | **解答:** * 差の平均: $\bar{d}$ = 4.5点 * 差の標準偏差: $s\_d$ = 1.43 * n = 10 $$ t = \frac{4.5}{1.43 / \sqrt{10}} = 9.95 $$ * 自由度9の臨界値（両側5%）= 2.262 * t = 9.95 > 2.262 * p < 0.001 **結論:** 有意に成績が上がった（p < 0.001） ## 3. 対応のないt検定（独立標本t検定） ### 目的 2つの独立したグループの平均を比較 ### 使用場面 * 男性vs女性 * 治療群vs対照群 * A社製品vsB社製品 ### 仮説 * H₀: μ₁ = μ₂ * H₁: μ₁ ≠ μ₂ ### 検定統計量（等分散の場合） $$ t = \frac{\bar{x}\_1 - \bar{x}\_2}{\sqrt{s\_p^2 \left(\frac{1}{n\_1} + \frac{1}{n\_2}\right)}} $$ プールされた分散: $$ s\_p^2 = \frac{(n\_1-1)s\_1^2 + (n\_2-1)s\_2^2}{n\_1 + n\_2 - 2} $$ 自由度: n₁ + n₂ - 2 ### 実践例 **問題:** 新しい教授法の効果を検証 **A組（従来法）:** n=15, 平均=70, SD=10 **B組（新手法）:** n=15, 平均=78, SD=12 α = 0.05で有意差はあるか? **解答:** Step 1: プールされた分散を計算 $$ s\_p^2 = \frac{14 \times 100 + 14 \times 144}{28} = \frac{1400 + 2016}{28} = 122 $$ Step 2: t値を計算 $$ t = \frac{70 - 78}{\sqrt{122 \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{15}\right)}} = \frac{-8}{\sqrt{122 \times 0.133}} = \frac{-8}{4.03} = -1.99 $$ Step 3: 判定 * 自由度28の臨界値（両側5%）≈ ±2.048 * |t| = 1.99 < 2.048 * p ≈ 0.056 > 0.05 **結論:** 有意水準5%では有意差があるとは言えない（ギリギリ） ## Welchのt検定（不等分散の場合） 分散が等しくない場合に使用 **検定統計量:** $$ t = \frac{\bar{x}\_1 - \bar{x}\_2}{\sqrt{\frac{s\_1^2}{n\_1} + \frac{s\_2^2}{n\_2}}} $$ 自由度の計算が複雑（ソフトウェアで自動計算） ## t検定の前提条件 1. **正規性**: データが正規分布に従う * 小サンプル: 厳密に必要 * 大サンプル（n≥30）: 中心極限定理で緩和 2. **独立性**: 観測が互いに独立 3. **等分散性**（対応なしの場合）: * F検定やLevene検定で確認 * 違反時はWelchのt検定を使用 ## 効果量（Effect Size） 統計的有意性とは別に、効果の大きさを表す指標 ### Cohen's d $$ d = \frac{\bar{x}\_1 - \bar{x}\_2}{s\_p} $$ **解釈:** * |d| = 0.2: 小さい効果 * |d| = 0.5: 中程度の効果 * |d| = 0.8: 大きい効果 前述の教授法の例: $$ d = \frac{70 - 78}{\sqrt{122}} = \frac{-8}{11.05} = -0.72 $$ → 中〜大程度の効果 ## t検定のまとめ | 種類 | 使用場面 | 例 | | ---- | ----------- | -------- | | 一標本 | 標本平均 vs 基準値 | 製品が規格通りか | | 対応あり | 同じ対象の前後 | 治療前後の比較 | | 対応なし | 2つの独立グループ | 男性vs女性 | ## 練習問題 **問1:** 以下のデータで、μ=50と有意に異なるか検定してください（α=0.05）: ``` 48, 52, 49, 51, 47, 53, 50, 48, 52, 49 ``` **問2:** 対応のあるt検定と対応のないt検定の使い分けを説明してください。 **問3:** * グループA: n=20, 平均=85, SD=15 * グループB: n=25, 平均=78, SD=18 対応のないt検定を実施し、有意差があるか判定してください（α=0.05）。 **問4:** p=0.06とCohen's d=1.2の結果をどう解釈しますか? *** 次の章: [第6章 回帰分析](https://ringa-hyjs-organization.gitbook.io/ringa_read_site/ying-yong-bian/chapter6)