2.1 代表値（平均・中央値・最頻値）

代表値は、データ全体の「中心的な傾向」を1つの数値で表すものです。

3つの代表値

1. 平均値（Mean）

全てのデータの合計をデータ数で割った値です。

計算式:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

例: 5人のテスト成績が [70, 80, 85, 90, 95] の場合

$$平均 = \frac{70 + 80 + 85 + 90 + 95}{5} = \frac{420}{5} = 84$$

特徴:

• 全てのデータの情報を使う

• 外れ値の影響を受けやすい

2. 中央値（Median）

データを小さい順に並べたときの真ん中の値です。

求め方:

1. データを昇順に並べる

2. データ数が奇数の場合: 真ん中の値

3. データ数が偶数の場合: 真ん中2つの平均

例1（奇数）: [65, 70, 80, 85, 90] → 中央値は 80

例2（偶数）: [65, 70, 80, 85, 90, 95] → 中央値は (80 + 85) / 2 = 82.5

特徴:

• 外れ値の影響を受けにくい

• 順序尺度以上のデータに使える

3. 最頻値（Mode）

データの中で最も頻繁に出現する値です。

例: [70, 80, 80, 85, 90, 90, 90, 95] → 最頻値は 90（3回出現）

特徴:

• 名義尺度のデータにも使える

• 複数存在する場合もある（多峰性）

代表値の比較例

データセット1: [60, 70, 80, 90, 100]

• 平均: 80

• 中央値: 80

• 最頻値: なし（全て1回ずつ）

データセット2: [10, 70, 80, 90, 100]

• 平均: 70

• 中央値: 80

• 最頻値: なし

→ 平均は外れ値（10）に引っ張られて低くなっています。

どの代表値を使うべきか?

状況	推奨される代表値
データが対称的で外れ値がない	平均値
外れ値が含まれる	中央値
カテゴリカルデータ	最頻値
収入などの歪んだ分布	中央値

実践例: 年収データ

あるクラスの年収データ（万円）:

[300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 5000]

• 平均: 1,019万円 ← 高所得者1人に引っ張られている

• 中央値: 475万円 ← より実態に近い

このケースでは中央値の方が「典型的な年収」を表しています。

練習問題

問1: 次のデータの平均、中央値、最頻値を求めてください:

[12, 15, 18, 18, 20, 22, 18, 25]

問2: なぜ収入データでは平均値よりも中央値が使われることが多いのでしょうか?

問3: 以下のデータで平均と中央値を比較し、どちらがより適切か考えてください:

住宅価格（万円）: [2500, 2800, 3000, 3200, 3500, 3800, 15000]

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